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给定时点 \(t\)、价格 \(S_1(t)\) 与 \(S_2(t)\)，下方定价表达式同时包含折现项 \(e^{-r(T-t)}\)、事件指示函数 \(\mathbf{1}\{A\}\)、概率函数 \(N(\bar d_j(u))\) 与条件密度 \(f_U(u\mid m_3)\)。模型正文中的符号定义与独立公式需要一起整理。

approximate pricing formula in closed form,
\[
\begin{align*}
& V _ { 1 } \left( t , S _ { 1 } ( t ) , S _ { 2 } ( t ) \right) \\
& \quad = e ^ { - r ( T - t ) } E _ { t } \left[ \left( S _ { 1 } ( T ) - S _ { 2 } ( T ) - K \right) \mathbf { 1 } \{ A \} \right] \\
& \quad = e ^ { - r ( T - t ) } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left[ S _ { 1 } ( t ) D ( u , T ) N \left( \bar { d } _ { 1 } ( u ) \right) - S _ { 2 } ( t ) G ( u , T ) N \left( \bar { d } _ { 2 } ( u ) \right) - K N \left( \bar { d } _ { 3 } ( u ) \right) \right] f _ { U } \left( u \mid m _ { 3 } \right) \mathrm { d } u \tag{6}
\end{align*}
\]
where
\[
\begin{aligned}
\bar { \delta } = & \sqrt { \left( \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \left( 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \left( 1 - \delta _ { 1 } ^ { 2 } \right) - 2 \rho \alpha \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \sqrt { 1 - \delta _ { 1 } ^ { 2 } } \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ( T - t ) , } \\
\bar { d } _ { 1 } ( u ) = & \frac { 1 } { \bar { \delta } } \left[ \left( r + \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } - \alpha r + \frac { 1 } { 2 } \alpha \sigma _ { 2 } ^ { 2 } - \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \alpha \rho \sqrt { 1 - \delta _ { 1 } ^ { 2 } } \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } - \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } \right) ( T - t ) \right. \\
& \left. - l _ { 1 } \left( m _ { 3 } , T - t \right) + \alpha l _ { 2 } \left( m _ { 3 } , T - t \right) + \left( \sigma _ { 1 } \delta _ { 1 } - \alpha \sigma _ { 2 } \delta _ { 2 } \right) \left( u - m _ { 3 } \right) - \ln I ( T ) \right] , \\
\bar { d } _ { 2 } ( u ) = & \frac { 1 } { \bar { \delta } } \left[ \left( r - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } - \alpha r - \frac { 1 } { 2 } \alpha \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \rho \sqrt { 1 - \delta _ { 1 } ^ { 2 } } \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } + \alpha \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \delta _ { 2 } ^ { 2 } \right) ( T - t ) \right. \\
& \left. - l _ { 1 } \left( m _ { 3 } , T - t \right) + \alpha l _ { 2 } \left( m _ { 3 } , T - t \right) + \left( \sigma _ { 1 } \delta _ { 1 } - \alpha \sigma _ { 2 } \delta _ { 2 } \right) \left( u - m _ { 3 } \right) - \ln I ( T ) \right] , \\
\bar { d } _ { 3 } ( u ) = & \frac { 1 } { \bar { \delta } } \left[ \left( r - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } - \alpha r + \frac { 1 } { 2 } \alpha \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right) ( T - t ) + \alpha l _ { 2 } \left( m _ { 3 } , T - t \right) - l _ { 1 } \left( m _ { 3 } , T - t \right) \right. \\
& \left. + \left( \sigma _ { 1 } \delta _ { 1 } - \alpha \sigma _ { 2 } \delta _ { 2 } \right) \left( u - m _ { 3 } \right) - \ln I ( T ) \right] , \\
I ( T ) = & \frac { e ^ { k } S _ { 2 } ( t ) ^ { \alpha } } { E _ { t } \left[ S _ { 2 } ( T ) ^ { \alpha } \right] S _ { 1 } ( t ) } , \\
D ( u , T ) = & \exp \left\{ \left( r - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } \right) ( T - t ) - l _ { 1 } \left( m _ { 3 } , T - t \right) + \sigma _ { 1 } \delta _ { 1 } \left( u - m _ { 3 } \right) \right\} , \\
G ( u , T ) = & \exp \left\{ \left( r - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \delta _ { 2 } ^ { 2 } \right) ( T - t ) - l _ { 2 } \left( m _ { 3 } , T - t \right) + \sigma _ { 2 } \delta _ { 2 } \left( u - m _ { 3 } \right) \right\} .
\end{aligned}
\]

其中 \(\bar\delta\) 由 \(\sigma_1,\sigma_2,\alpha,\rho,\delta_1,\delta_2\) 及期限 \(T-t\) 构成；\(\bar d_1(u),\bar d_2(u),\bar d_3(u)\) 又包含 \(l_1(m_3,T-t)\)、\(l_2(m_3,T-t)\) 和 \(\ln I(T)\)。行内上下标、根式、分式与正文保持在同一段落中。