Fixed Points for Isometries on Rotund Banach Spaces Without Convexity
研究了在圆滑Banach空间中，即使子集不凸，等距自映射在满足非凸性测度趋于零等条件下仍有不动点，推广了已有结论。
Abstract Assume X is a rotund Banach space with Eisenfeld-Lakshmikantham measure of nonconvexity $$\nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:math> . Let $$Y\subset X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> be nonvoid and bounded, although not necessarily convex. Then, every isometric self-map $$f:Y\rightarrow Y$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for which $$\lim _{n\rightarrow \infty }\nu (f^n(Y))=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> has a fixed point, under either one of two additional requirements: ( a ) Y is weakly compact; ( b ) X is reflexive, Y is closed and $$\lim _{n\rightarrow \infty }\nu (\widehat{Y}_n)=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , where, for each $$n\in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$\widehat{Y}_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> consists of all those $$z\in Y$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> satisfying $$\rho (Y)\le \rho (z)\le \rho (Y)+n^{-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$\rho (Y)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> denotes the Chebyshev radius of Y . More precisely, if ( b ) holds then Y has a unique Chebyshev center c , which is fixed by any such isometry f . Thus, previous results of Lim et al. (2003) and of Gordon (2020) are generalized by weakening the hypotheses on X (just rotundity and reflexivity instead of uniform convexity) and/or dropping the condition that Y be convex.